\section{Ejercicio N 5}

Una empresa tiene cuatro máquinas cortadoras de césped. Las mismas se rompen o necesitan mantenimiento cada 15 días (distribución exponencial). Para su atención y mantenimiento tiene un empleado que en promedio tarda 7 días con cada máquina. En promedio, por cada día de trabajo, las máquinas reportan un ingreso de \$50. Se desea saber:
\begin{enumerate}
  \item El número promedio de máquinas funcionando.
  \item El porcentaje de tiempo que el empleado se encuentra inactivo.
  \item Cuánto tiempo, en promedio, estará en funcionamiento una máquina.
  \item Existe la posibilidad de contratar una persona más, que cobra 700\$ por mes y que tarda lo mismo que el empleado. Considerando 1 mes = 24 días, ¿conviene contratar al nuevo empleado?
\end{enumerate}

\begin{center}
\line(1,0){250}
\end{center}

\comandoDatos
\begin{itemize}
  \item $T_{a} = 15\: \,  \frac{d\'ias}{maquina} \Rightarrow \lambda = \frac{1}{15} \: \,  \frac{maquina}{d\'ia}$ (distribución exponencial)
  \item $T_{s}  = 7\: \,  \frac{d\'ias}{maquina} \Rightarrow \mu = \frac{1}{7} \: \,  \frac{maquina}{d\'ia}$ (distribución exponencial)
\end{itemize}

\comandoCalcular
\begin{itemize}
  \item $J$
  \item $100-(100*H)$
  \item $T_{a}$
  \item Conveniencia de contratación.
\end{itemize}

\comandoHipotesis
\begin{enumerate}
  \item Los arribos tienen distribución Poisson
  \item La realización del servicio tienen distribución Poisson
  \item El sistema tiene un único canal de atención
  \item El sistema tiene capacidad infinita
  \item La disciplina de atención es FIFO
  \item La población es finita
  \item Se forma una única cola frente al canal
  \item Los clientes no presentan el fenómeno de impaciencia
  \item El sistema se encuentra en condiciones estables
\end{enumerate}

En conclusión, es un P/P/1(4).

\begin{figure}[H]
  \begin{center}
    \includegraphics[scale=0.7]{ejercicio05.png}
    \caption{Sistema correspondiente al ejercicio 5}
  \end{center}
\end{figure}

\comandoResolucion

\begin{center}
\vspace{0.25cm}

\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline
$n$ & $P(n)$ & $\lambda_{n}$   	& $\mu_{n}$ 	& $L$ & $L_c$ & $H$ & $J$	& $N'$    \\ \hline
0   & P(0)   & $\frac{4}{15}$  & 0     	& 0   & 0     & 0   & 4     	& 4		\\
1   & P(1)   & $\frac{1}{5}$   & $\mu$ 	& 1   & 0     & 1   & 3     	& 4		\\
2   & P(2)   & $\frac{2}{15}$  & $\mu$ 	& 2   & 1     & 1   & 2     	& 4		\\
3   & P(3)   & $\frac{1}{15}$  & $\mu$ 	& 3   & 2     & 1   & 1 		& 4		\\ 
4	& P(4)   & 0				  & $\mu$  	& 4	  & 3	  & 1	& 0		& 4     \\ \hline
\end{tabular}
\\

\vspace{0.25cm}
\end{center}

$\lambda_{n} = (N'-n) * \lambda_{a}$

\begin{enumerate}[\bfseries 1)]


\item

Sabemos que:

\[ J = N'-L \]

Datos que necesitamos:

\[ N'=4  \]
\[ \rho = \frac{\lambda}{\mu} = \frac{7}{15} \]
\[ L = N'-\frac{1-P(0)}{\rho} \]

Usamos la formula universal para hallar las probabilidades:

\[P(n) = \frac{\lambda_{n-1}}{\mu_{n}}*P(n-1) = \frac{N'!}{(N'-n)!}*\rho^n *P(0) \]

\[P(0) = 1 - [P(1) + P(2) + P(3) + P(4)] \]
\[P(0) = 1 - [4*\rho*P(0) + 4*3*\rho^2*P(0) + 4*3*2*\rho^3*P(0) + 4*3*2*1*\rho^4*P(0)] \]
\[P(0) = 1 - [4*\rho*P(0) + 12*\rho^2*P(0) + 24*\rho^3*P(0) + 24*\rho^4*P(0)] = 1 - 8.057*P(0) \]
\[P(0) = 0.11\]

Ya tengo todos los datos para hallar L:

\[ L = 4 - \frac{1-0.11}{\frac{7}{15}} = 4 - 1.91 = 2.09 \: \,(maquina)\]

Ahora si puedo determinar J:

\[ J = N'-L = 4 \: \,(maquina) - 2.09 \: \,(maquina)\]

\[ \boxed{J = 1.91 \: \,(maquina)} \]

\item 

H representa el tiempo en que el empleado está reparando una máquina. Si eso lo multiplicamos por 100, obtenemos el porcentaje de tiempo en que se encuentra activo. Lo que falta para completar el 100\% es el porcentaje de tiempo en que no tiene trabajo. Si calculamos directamente el tiempo de inactividad del empleado, lo cual sería igual a decir a que no haya máquinas reparándose nos queda entonces:

 \[ Tiempo\;  de\;  inactividad\%\;  =\;  100*P(0) \]

En el item anterior obtuvimos que $P(0) = 0.11$ por lo tanto el procentaje es:

\[ \boxed{100*P(0) = 11\%} \]

\item 

Una maquina estara funcionando en promedio $T_{a}$ días.

\[ \boxed{T_{a} = 15\ d\'ias } \]


\item 

Se analizan los casos con un empleado solo el cual no tiene costo y luego el caso en que hay dos empleados.

\underline{Caso de un solo empleado, no hay costos}

Las máquinas reportan por cada día de trabajo un ingreso de \$50. Considerando un mes.

\[ BENEFICIO = INGRESOS = 24\; \frac{dia}{mes}*50\; \frac{\$}{dia}\$*J = 2288,4\: \,  \frac{\$}{mes}  \]


Caso de dos empleados, hay costos, el segundo empleado cobra \$700 por mes.

Notación Kendall: P/P/2/(4)


\begin{center}
\vspace{0.25cm}

\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline
$n$ & $P(n)$ & $\lambda_{n}$   	& $\mu_{n}$ 	& $L$ & $L_c$ & $H$    \\ \hline
0   & P(0)   & $4*\lambda_{r}$  & 0     	& 0   & 0     & 0        \\
1   & P(1)   & $3*\lambda_{r}$   & $\mu$ 	& 1   & 0     & 1        \\
2   & P(2)   & $2*\lambda_{r}$  & $2*\mu$ 	& 2   & 0     & 2        \\
3   & P(3)   & $1*\lambda_{r}$  & $2*\mu$ 	& 3   & 1     & 2    	  \\ 
4	& P(4)   & 0				  & $2*\mu$  	& 4	  & 2	  & 2	  \\ \hline
\end{tabular}
\\

\vspace{0.25cm}
\end{center}


Usamos la formula universal nuevamente para hallar las nuevas probabilidades:

\[P(n) = \frac{\lambda_{n-1}}{\mu_{n}}*P(n-1) = \frac{N'!}{(N'-n)!}*\rho^n *P(0) \]

Obteniendo:

\[ \boxed{P(0) = 0.2030} \]
\[ \boxed{P(1) = 0.3789} \]
\[ \boxed{P(2) = 0.2652} \]
\[ \boxed{P(3) = 0.1237} \]
\[ \boxed{P(4) = 0.0288} \]

Calculo nuevamente el numero promedio de máquinas funcionando mediante:

\[ J = N'-L \]

\[ L = P(1) + 2*P(2) + 3*P(3) + 4*P(4) = 1,3956 \Rightarrow \boxed{J = 2,6044 \: \,(maquina)} \]

\[ BENEFICIO = INGRESOS - COSTOS = ( 24*\$50*J ) - 700\: \,  \frac{\$}{mes}  = 2425,28\: \,  \frac{\$}{mes} \]

Como es mayor el ingreso en el caso 2, determinamos que conviene contratar al nuevo empleado a pesar del gasto que implica.


\end{enumerate}
